[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik Oran-Orantı başlığı altında; Oran-Orantı Nedir, Orantının Özellikleri, Orantı Çeşitleri, Doğru Orantı, Ters Orantı, Ortalamalar, Aritmetik Ortalama, Geometrik Ortalama, Harmonik Orta, Dördüncü Orantılı vb. konular hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]ORAN – ORANTI[/h][h=3] A. ORAN[/h][FONT="]a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
ye a nın b ye oranı denir.[/FONT]
[h=3]B. ORANTI[/h][FONT="]En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani
oranı ile
nin eşitliği olan[/FONT]
[FONT="]
ye orantı denir.[/FONT]
[h=5]C. ORANTININ ÖZELİKLERİ[/h][FONT="] [/FONT]
[FONT="]
m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]3)[/FONT]
[FONT="]
ise, (k ya orantı sabiti denir.)[/FONT]
[h=3]D. ORANTI ÇEŞİTLERİ[/h][FONT="]1. Doğru Orantılı Çokluklar[/FONT]
[FONT="]Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k × x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği diğer sayfada verilmiştir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çokluklarının doğru orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0 ve y > 0)[/FONT]
[/FONT]
[FONT="]2. Ters Orantılı Çokluklar[/FONT]
[FONT="]Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere,
ifadesine ters orantının denklemi denir.
[/FONT]
[FONT="]x ile y çokluklarının ters orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0, y > 0 ve k > 0)[/FONT]
[h=3]E. ARİTMETİK ORTALAMA[/h][FONT="]n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.[/FONT]
[FONT="]Buna göre, x1, x2, x3, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması,
dir.[/FONT]
[FONT="]• a ile b nin aritmetik ortalaması[/FONT]
[FONT="]• a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,[/FONT]
[FONT="]• n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.[/FONT]
[h=3]F. GEOMETRİK ORTALAMA[/h][FONT="]n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.r.[/FONT]
[FONT="]Buna göre,[/FONT]
[FONT="]x1, x2, x, … , xn sayılarının geometrik ortalaması
dir.[/FONT]
[FONT="]• a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
dir.
[/FONT]
[FONT="]• a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
dir.[/FONT]
[FONT="]• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise
a = b dir.[/FONT]
[h=3]G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA[/h][FONT="]x1, x2, x3, … , xn sayılarının harmonik ortalaması[/FONT]
[h=5]H. DÖRDÜNCÜ ORANTILI[/h][FONT="]
orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir.[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[h=1]ORAN – ORANTI[/h][h=3] A. ORAN[/h][FONT="]a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,
| • Oranlanan çokluklardan ikisi aynı anda sıfır olamaz.• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır. • Oranın sonucu birimsizdir. |
[FONT="]
ye orantı denir.[/FONT]
|
|
[FONT="]
[FONT="]3)[/FONT]
[FONT="]
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a : b : c = x : y : z ise,
|
|
[FONT="]Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k × x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği diğer sayfada verilmiştir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çokluklarının doğru orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0 ve y > 0)[/FONT]
[FONT="]
| • İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır. • Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. |
[FONT="]Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.[/FONT]
[FONT="]x ile y çoklukları ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere,
[/FONT]
[FONT="]x ile y çokluklarının ters orantılı olduğu grafik aşağıdaki gibidir.
(x > 0, y > 0 ve k > 0)[/FONT]
| • İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.• Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır. |
| a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere, a/b x c=k dır |
[FONT="]Buna göre, x1, x2, x3, … , xn sayılarının aritmetik ortalaması,
[FONT="]• a ile b nin aritmetik ortalaması[/FONT]
[FONT="]• a, b, c biçimindeki üç sayının aritmetik ortalaması,[/FONT]
[FONT="]• n tane sayının aritmetik ortalaması x olsun.
Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.[/FONT]
[h=3]F. GEOMETRİK ORTALAMA[/h][FONT="]n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.r.[/FONT]
[FONT="]Buna göre,[/FONT]
[FONT="]x1, x2, x, … , xn sayılarının geometrik ortalaması
[FONT="]• a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
[/FONT]
[FONT="]• a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
[FONT="]• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise
a = b dir.[/FONT]
[h=3]G. HARMONİK (AHENKLİ) ORTA[/h][FONT="]x1, x2, x3, … , xn sayılarının harmonik ortalaması[/FONT]
- a ile b nin harmonik ortalaması
- a, b, c gibi üç sayının harmonik ortalaması
- İki pozitif sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H ise,
i) G2 = A × H dır.
ii) H £ G £ A dır.
ii) H £ G £ A dır.
[FONT="]
| • İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. |