[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik Modüler Aritmetik başlığı altında; Modüler Aritmetik Nedir? Modüler Aritmetiğin Özellikleri, Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü vb. konular hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]MODÜLER ARİTMETİK[/h][FONT="]a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,[/FONT]
[FONT="]b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}[/FONT]
[FONT="]bir denklik bağıntısıdır.[/FONT]
[FONT="]b denklik bağıntısı olduğundan[/FONT]
[FONT="]Her (a, b) Î b için,[/FONT]
[FONT="]a º b (mod m)[/FONT]
[FONT="]biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.[/FONT]
[FONT="]Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.[/FONT]
[FONT="]Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve
biçiminde gösterilir.[/FONT]
[FONT="]Buna göre,[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[h=1]MODÜLER ARİTMETİK[/h][FONT="]a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,[/FONT]
[FONT="]b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}[/FONT]
[FONT="]bir denklik bağıntısıdır.[/FONT]
[FONT="]b denklik bağıntısı olduğundan[/FONT]
[FONT="]Her (a, b) Î b için,[/FONT]
[FONT="]a º b (mod m)[/FONT]
[FONT="]biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.[/FONT]
| Ü |
|
[FONT="]Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve
[FONT="]Buna göre,[/FONT]
[FONT="]
| Ü | n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a ºb (mod m) c º d (mod m)olmak üzere, |
- a + c º b + d (mod m)
- a – c º b – d (mod m)
- a × c º b × d (mod m)
- an º bn (mod m)
- a – b º 0 (mod m)
- k × a º k × b (mod m) dir.
- n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise
dir.
- a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere,
dir.
|
|
| Ü | Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm–1 º1 (mod m) dir.x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir. |
| Ü | x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,
|
| m asal sayı ise, (m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir. |