[FONT="]Bu ders notumuzda Matematik Birinci Dereceden Denklemler başlığı altında; 1.Dereceden Denklem Nedir? Denklemlerin Çözümü, ax + b = 0 Denkleminin Çözümü, ax + by + c = 0 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Çözümü vb. konular hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.[/FONT]
[h=1]BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER[/h][FONT="]A. TANIM[/FONT]
[FONT="]a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.[/FONT]
[FONT="]B. EŞİTLİÐİN ÖZELİKLERİ[/FONT]
[FONT="] Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.[/FONT]
[FONT="]C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ[/FONT]
[FONT="]D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ[/FONT]
[FONT="]a, b, c Î
, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.[/FONT]
[FONT="]Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.[/FONT]
[FONT="]Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.[/FONT]
[FONT="]Çözüm Kümesinin BulunmasıBirinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.[/FONT]
[FONT="]Biz burada üçünü vereceğiz.[/FONT]
[FONT="]a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[FONT="]b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[FONT="]c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).[/FONT]
[FONT="] [/FONT]
[FONT="]denklem sistemini göz önüne alalım:[/FONT]
[FONT="]Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.[/FONT]
[FONT="]Birinci durum:[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.[/FONT]
[FONT="]İkinci durum:ise, bu iki doğru çakışıktır.[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.[/FONT]
[FONT="]Üçüncü durum:ise, bu iki doğru paraleldir.[/FONT]
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.[/FONT]
[h=1]BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER[/h][FONT="]A. TANIM[/FONT]
[FONT="]a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,[/FONT]
[FONT="]ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.[/FONT]
[FONT="]B. EŞİTLİÐİN ÖZELİKLERİ[/FONT]
[FONT="] Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.[/FONT]
- Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a + c = b + c dir.
- Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a – c = b – c dir.
- Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.
a = b ise, a × c = b × c dir.
- Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile bölünürse eşitlik bozulmaz.
- Bir eşitliğin her iki tarafının n. kuvveti alınırsa eşitlik bozulmaz.
a = b ise, an = bn dir.
-
- (a = b ve b = c) ise, a = c dir.
- (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d dir.
- (a = b ve c = d) ise, a × c = b × d dir.
-
a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.
- a × b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.
-
[FONT="]C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ[/FONT]
- a ¹ 0 olmak üzere,
- (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi
dir.
- (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.
[FONT="]D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ[/FONT]
[FONT="]a, b, c Î
[FONT="]ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.[/FONT]
[FONT="]Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.[/FONT]
[FONT="]Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.[/FONT]
| a, b, c Î
|
[FONT="]Çözüm Kümesinin BulunmasıBirinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.[/FONT]
[FONT="]Biz burada üçünü vereceğiz.[/FONT]
[FONT="]a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.[/FONT]
| Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar. |
[FONT="]b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.[/FONT]
| Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar. |
[FONT="]c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).[/FONT]
| Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar. |
| Ü | ax + by + c = 0dx + ey + f = 0 |
[FONT="]Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.[/FONT]
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
[FONT="]denklem sisteminde,ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.[/FONT]dx + ey + f = 0
[FONT="]Birinci durum:[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.[/FONT]
[FONT="]İkinci durum:ise, bu iki doğru çakışıktır.[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.[/FONT]
[FONT="]Üçüncü durum:ise, bu iki doğru paraleldir.[/FONT]
[FONT="]
[FONT="]Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.[/FONT]
[FONT="]Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.[/FONT]